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基础知识

向量

概念：有大小和方向的量
基础算法：
（1）加：(A.x+B.x,A.y+B.y)(A.x+B.x,A.y+B.y)(A.x + B.x,A.y + B.y)
（2）减：(A.x−B.x,A.y−B.y)(A.x−B.x,A.y−B.y)(A.x - B.x,A.y - B.y)
（3）乘常数：(A.x∗k,A.y∗k)(A.x∗k,A.y∗k)(A.x k,A.y k)
（4）点积：A⋅B=|A||B|cosθ=A.x∗B.x+A.y∗B.yA·B=|A||B|cos⁡θ=A.x∗B.x+A.y∗B.yA · B = |A||B|\cos\theta = A.x B.x + A.yB.y
（5）叉积：A×B=|A||B|sinθ=A.x∗B.y−A.y∗B.xA×B=|A||B|sin⁡θ=A.x∗B.y−A.y∗B.xA \times B = |A||B|\sin\theta = A.x B.y - A.yB.x

基础算法

（1）旋转：将 (x,y)(x,y)(x,y) 逆时针旋转 θθ\theta 就是 (x∗cosθ−y∗sinθ,x∗sinθ+y∗cosθ)(x∗cos⁡θ−y∗sin⁡θ,x∗sin⁡θ+y∗cos⁡θ)(x \cos\theta - y \sin\theta,x \sin\theta + y \cos\theta)
（2）把向量 AAA 转到与向量 BBB 同向：B∗|A||B|B∗|A||B|B \dfrac{|A|}{|B|}
（3）求多边形面积：12|∑n−1i=1Pi×P(i+1)%n|12|∑i=1n−1Pi×P(i+1)%n|\dfrac{1}{2}|\sum_{i=1}^{n-1}P_i \times P_{(i+1)\%n}|
（4）以 AAA 为原点 BBB 为单位点求 PPP 的新坐标：(AB→⋅AP→,AB→×AP→)∗1|AB|2(AB→·AP→,AB→×AP→)∗1|AB|2(\vec{AB} · \vec{AP},\vec{AB} \times \vec{AP}) \dfrac{1}{|AB|^2}
（5）PPP 与直线 ABABAB 的位置关系：根据 AB→×AP→AB→×AP→\vec{AB} \times \vec{AP}
（6）点 PPP 在直线 ABABAB 上的投影：A+AB→∗(AB→⋅AP→)|AB|2A+AB→∗(AB→·AP→)|AB|2A + \dfrac{\vec{AB} (\vec{AB} · \vec{AP})}{|AB|^2}
（7）点与线段的位置关系：判断与线段所在直线的位置关系、点积判断在哪里
（8）AB//CD：AB→×CD→=0AB//⁡CD：AB→×CD→=0AB \mathop{//} CD：\vec{AB} \times \vec{CD} = 0
（9）直线 ABABAB 和直线 CDCDCD 求交点：A+AB→∗CD→×CA→AB→×CD→A+AB→∗CD→×CA→AB→×CD→A + \vec{AB} \dfrac{\vec{CD}\times\vec{CA}}{\vec{AB} \times \vec{CD}}
（10）线段与直线求交点：线段两端点在直线两侧、直线求交点

凸包

Graham 扫描法

求凸包：
（1）找到所有的点中最左下角的点，并加入栈中
（2）将所有点按极角排序逆时针
（3）每次找到一个点，判断该点是否在最后这条边的右边，若是则弹出栈顶，直到不能弹出就加入栈里
求下凸壳：
按横坐标从小到大排序，然后执行上文 （3）
求上凸壳：
按横坐标从大到小排序，然后执行上文（3）

旋转卡壳

本质：固定一个点，所求与另一个点的位置呈单峰函数且峰值关于固定点单调的算法

例题：

题目描述：
求解凸多边形的直径。直径的定义为凸多边形上两点间距离的最大值。
解法：
（1）任意选择一个点为固定点
（2）以固定点在逆时针顺序下的下一个点为第二个点
（3）因为这两点间的距离与第二个点的位置呈单峰函数，且峰值关于固定点单调，所以就按逆时针方向移动第二个点
（4）移动到最大距离处，计算贡献，并按逆时针方向移动固定点，不移动第二个点
（5）重复（3）直到移动结束
例如下图所示：

先随机找到固定点 AAA，与对应的第二个点 BBB

移动 BBB ，使得 AAA 与 BBB 两点间距离最大

保持 BBB 不动，移动 AAA
然后再按照上文的方法一直循环执行

圆

点与圆

判断点是否在圆上： d≤rd≤rd \le r
d=|PC|,r=rd=|PC|,r=rd = |PC|,r = r ∠DAC=arccos(rd),∠DAC=(arcsinrd)∠DAC=arccos⁡(rd),∠DAC=(arcsin⁡rd)\angle DAC = \arccos(\dfrac{r}{d}),\angle DAC = (\arcsin\dfrac{r}{d})

直线与圆

根据叉积得到 ddd
|MA|=|MB|=r2−d2−−−−−−√|MA|=|MB|=r2−d2|MA| = |MB| = \sqrt{r^2 - d^2}，∠OBM=arccosdr∠OBM=arccos⁡dr\angle OBM = \arccos \dfrac{d}{r}

圆与圆

是否相交

根据 ddd 与 r1+r2r1+r2r_1 + r_2

不交圆外公切线

k=r2−r1,∠CAB=arccosr2−r1d,∠DBA=arccosr1−r2dk=r2−r1,∠CAB=arccos⁡r2−r1d,∠DBA=arccos⁡r1−r2dk = r_2 - r_1 , \angle CAB = \arccos \dfrac{r2-r1}{d},\angle DBA = \arccos \dfrac{r_1-r_2}{d}

不交圆内公切线

∠BAG=∠ABF=arcsinr1+r2d∠BAG=∠ABF=arcsin⁡r1+r2d\angle BAG = \angle ABF = \arcsin \dfrac{r_1+r_2}{d}

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