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1. 梯度计算式导出

我们在博客《统计学习：逻辑回归与交叉熵损失（Pytorch实现）》中提到，设www为权值(最后一维为偏置)，样本总数为NNN，{(xi,yi)}Ni=1{(xi,yi)}Ni=1{(x_i, y_i)}_{i=1}^N为训练样本集。样本维度为DDD，xi∈RD+1x_i\in \mathbb{R}^{D+1}（最后一维扩充），yi∈{0,1}y_i\in{0, 1}。则逻辑回归的损失函数为：

l(w)=N∑i=1[yilogπw(xi)+(1−yi)log(1−πw(xi))]\mathcal{l}(w) = \sum_{i=1}^{N}\left[y_{i} \log \pi_{w}\left(x_{i}\right)+\left(1-y_{i}\right) \log \left(1-\pi_w\left(x_{i}\right)\right)\right]
这里

πw(x)=p(y=1∣x;w)=11+exp(−wTx)\begin{aligned}
\pi_w(x) = p(y=1 \mid x; w) =\frac{1}{1+\exp \left(-w^{T} x\right)}
\end{aligned}
写成这个形式就已经可以用诸如Pytorch这类工具来进行自动求导然后采用梯度下降法求解了。不过若需要用表达式直接计算出梯度，我们还需要将损失函数继续化简为：

l(w)=−N∑i=1(yiwTxi−log(1+exp(wTxi)))\mathcal{l}(w) = -\sum_{i=1}^N(y_i w^T x_i - \log(1 + \exp(w^T x_i)))
可将梯度表示如下：

∇wl(w)=−N∑i=1(yi−1exp(−wTx)+1)xi\nabla_w{\mathcal{l}(w)} = -\sum_{i=1}^N(y_i - \frac{1}{\exp(-w^Tx)+1})x_i

2. 基于Spark的并行化实现

逻辑回归的目标函数常采用梯度下降法求解，该算法的并行化可以采用如下的Map-Reduce架构：

先将第tt轮迭代的权重广播到各worker，各worker计算一个局部梯度（map过程），然后再将每个节点的梯度聚合（reduce过程），最终对参数进行更新。

在Spark中每个task对应一个分区，决定了计算的并行度(分区的概念详间我们上一篇博客《Spark: 单词计数(Word Count)的MapReduce实现(Java/Python)》 )。在Spark的实现过程如下：

• map阶段： 各task运行map()函数对每个样本(xi,yi)(x_i, y_i)计算梯度gig_i， 然后对每个样本对应的梯度运行进行本地聚合，以减少后面的数据传输量。如第1个task执行MARKDOWN_HASH4dddf55964835d3f9e941a93d1f83e93MARKDOWNHASH操作得到˜g1=∑3i=1gi\widetilde{g}_1 = \sum\{i=1}^3 g_i 如下图所示：
• reduce阶段：使用reduce()将所有task的计算结果收集到Driver端进行聚合，然后进行参数更新。

在上图中，训练数据用points:PrallelCollectionRDD来表示，参数向量用ww来表示，注意参数向量不是RDD，只是一个单独的参与运算的变量。

此外需要注意一点，虽然每个task在本地进行了局部聚合，但如果task过多且每个task本地聚合后的结果（单个gradient）过大那么统一传递到Driver端仍然会造成单点的网络平均等问题。为了解决这个问题，Spark设计了性能更好的treeAggregate()操作，使用树形聚合方法来减少网络和计算延迟。

3. PySpark实现代码

PySpark的完整实现代码如下：

from sklearn.datasets import load_breast_cancer
import numpy as np
from pyspark.sql import SparkSession
from operator import add
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import accuracy_score

n_slices = 3  # Number of Slices
n_iterations = 300  # Number of iterations
alpha = 0.01  # iteration step\_size

def logistic\_f(x, w):
    return 1 / (np.exp(-x.dot(w)) + 1)

def gradient(point: np.ndarray, w: np.ndarray) -> np.ndarray:
    """ Compute linear regression gradient for a matrix of data points
 """
    y = point[-1]    # point label
    x = point[:-1]   # point coordinate
    # For each point (x, y), compute gradient function, then sum these up
    return - (y - logistic_f(x, w)) * x

if __name__ == "\_\_main\_\_":

    X, y = load_breast_cancer(return_X_y=True)

    D = X.shape[1]
    X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(
        X, y, test_size=0.3, random_state=0)
    n_train, n_test = X_train.shape[0], X_test.shape[0]

    spark = SparkSession\
        .builder\
        .appName("Logistic Regression")\
        .getOrCreate()

    matrix = np.concatenate(
        [X_train, np.ones((n_train, 1)), y_train.reshape(-1, 1)], axis=1)

    points = spark.sparkContext.parallelize(matrix, n_slices).cache()

    # Initialize w to a random value
    w = 2 * np.random.ranf(size=D + 1) - 1
    print("Initial w: " + str(w))

    for t in range(n_iterations):
        print("On iteration %d" % (t + 1))
        g = points.map(lambda point: gradient(point, w)).reduce(add)
        w -= alpha * g

        y_pred = logistic_f(np.concatenate(
            [X_test, np.ones((n_test, 1))], axis=1), w)
        pred_label = np.where(y_pred < 0.5, 0, 1)
        acc = accuracy_score(y_test, pred_label)
        print("iterations: %d, accuracy: %f" % (t, acc))

    print("Final w: %s " % w)
    print("Final acc: %f" % acc)

    spark.stop()

注意spark.sparkContext.parallelize(matrix, n_slices)中的n_slices就是Spark中的分区数。我们在代码中采用breast cancer数据集进行训练和测试，该数据集是个二分类数据集。模型初始权重采用随机初始化。

最后，我们来看一下算法的输出结果。

初始权重如下：

Initial w: [-0.0575882   0.79680833  0.96928013  0.98983501 -0.59487909 -0.23279241
 -0.34157571  0.93084048 -0.10126002  0.19124314  0.7163746  -0.49597826
 -0.50197367  0.81784642  0.96319482  0.06248513 -0.46138666  0.76500396
  0.30422518 -0.21588114 -0.90260279 -0.07102884 -0.98577817 -0.09454256
  0.07157487  0.9879555   0.36608845 -0.9740067   0.69620032 -0.97704433
 -0.30932467]

最终的模型权重与在测试集上的准确率结果如下：

Final w: [ 8.22414803e+02  1.48384087e+03  4.97062125e+03  4.47845441e+03
  7.71390166e+00  1.21510016e+00 -7.67338147e+00 -2.54147183e+00
  1.55496346e+01  6.52930570e+00  2.02480712e+00  1.09860082e+02
 -8.82480263e+00 -2.32991671e+03  1.61742379e+00  8.57741145e-01
  1.30270454e-01  1.16399854e+00  2.09101988e+00  5.30845885e-02
  8.28547658e+02  1.90597805e+03  4.93391021e+03 -4.69112527e+03
  1.10030574e+01  1.49957834e+00 -1.02290791e+01 -3.11020744e+00
  2.37012097e+01  5.97116694e+00  1.03680530e+02] 
Final acc: 0.923977

可见我们的算法收敛良好。

参考

• [1] GiHub: Spark官方Python样例
• [2] 王树森-并行计算与机器学习(1/3)
• [3] 刘铁岩，陈薇等. 分布式机器学习：算法、理论与时间[M]. 机械工业出版社, 2018.

• [4] 许利杰，方亚芬. 大数据处理框架Apache Spark设计与实现[M]. 电子工业出版社, 2021.

  • 1. 梯度计算式导出
• 2. 基于Spark的并行化实现
• 3. PySpark实现代码

• 参考

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