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本系列的完结篇，介绍了连续控制情境下的强化学习方法，确定策略 DPG 和随机策略 AC 算法。

15. 连续控制

15.1 动作空间

• 离散动作空间

  • Action space A=left,right,upAction space A=left,right,upAction \ space \ \mathcal{A}={left,right,up}
  • 比如超级玛丽游戏中的向上\向左\向右；
  • 此前博文讨论的，都是离散的控制，动作有限。

• 连续动作空间

  • Action space A=[0°,360°]×[0°,180°]Action space A=[0°,360°]×[0°,180°]Action \ space \ \mathcal{A}=[0°,360°]×[0°,180°]
  • 比如机械臂，如果具有两个运动关节：

• 价值网络 DQN 可以解决离散动作控制的问题，因为 DQN 输出的是有限维度的向量。

• 策略网络也同样。

• 所以此前的方法不能简单照搬到连续控制。要想应用到连续控制上，可以采用 连续空间离散化。

连续空间离散化：

• 比如机械臂进行二维网格划分。那么有多少个格子，就有多少种动作。
• 缺点：假设d为连续动作空间的自由度，动作离散化后的数量会随着d的增加呈现指数增长，从而造成维度灾难。动作太多会学不好DQN 或 策略网络。
• 所以 离散化 适合自由度较小的问题。

另外还有两个方法：

1. 使用确定策略网络(Deterministic policy networkDeterministic policy networkDeterministic \ policy \ network)
2. 使用随机策略(Stochastic policy networkStochastic policy networkStochastic \ policy \ network)。

15.2 DPG | 确定策略

回到顶部#### a. 基础了解

Deterministic Policy Gradient.确定策略梯度，可以用于解决连续控制问题。后续引入深度神经网络，就是著名的 DDPG。

DPG 是 Actor-Critic 方法的一种。结构图如下：

• 策略网络 actor

  • 策略网络是确定性的函数 a=π(s;θ)a=π(s;θ)a=\pi(s;\theta)
  • 输入是状态 s ；输出是一个具体的动作 s；即给定状态输出具体的动作，无随机性。
  • 输出的动作是可以指导运动的实数或向量。

• 价值网络 critic

  • 记作 q(s,a;w)q(s,a;w)q(s,a;w)
  • 输入是状态 s 和 动作 a，基于状态 s，评价动作 a 的好坏程度，输出一个分数 q；
• 训练两个神经网络，让两个网络越来越好。

• 用 TD 算法更新 价值网络：

  1. 观测 transition:(st,at,rt,st+1)(st,at,rt,st+1)(s_t,a_t,r_t,s_{t+1})
  2. 价值网络预测 t 时刻 的动作价值 qt=q(st,at;w)qt=q(st,at;w)q_t=q(s_t,a_t;w)
  3. 价值网络预测 t+1时刻的价值：qt+1=q(st+1,a′t+1;w)qt+1=q(st+1,at+1′;w)q_{t+1}=q(s_{t+1},a'_{t+1};w)

  注意这里的 a′t+1at+1′a'_{t+1} 是 策略网络 t+1 时刻预选出来的动作，尚未执行。

  4. TD error：δt=qt−(rt+γ⋅qt+1)TD targetδt=qt−(rt+γ⋅qt+1)⏟TD target\delta_t=q_t-\underbrace{(r_t+\gamma\cdot q_{t+1})}_{TD \ target}
  5. 更新参数：w←w−α⋅δt⋅∂q(st,at;w)∂ww←w−α⋅δt⋅∂q(st,at;w)∂ww\leftarrow w-\alpha\cdot\delta_t \cdot \frac{\partial q(s_t,a_t;w)}{\partial w}

• 策略网络用 DPG 算法 更新

回到顶部#### b. 算法推导

对 DPG 算法进行推导。

• 训练价值网络的目标是，让价值网络的输出 q 越大越好。
• 而在DPG 的网络结构中，在给定状态时，动作是确定的（策略网络会给出一个确定的动作），且价值网络固定，那么影响输出的就是策略网络的参数 θθ\theta。
• 所以更新 θ 使价值 q 更大；
• 计算价值网络关于 θ 的梯度 DPG：g=∂q(s,π(s;θ))∂θ=∂a∂θ⋅∂q(s,a;w)∂ag=∂q(s,π(s;θ))∂θ=∂a∂θ⋅∂q(s,a;w)∂ag=\frac{\partial q(s,\pi(s;\theta))}{\partial\theta}=\frac{\partial a}{\partial\theta}\cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial a}

链式法则，让梯度从价值 q 传播到动作 a；再从 a 传播到策略网络。

• 梯度上升更新 θθ\theta：θ←θ+β⋅gθ←θ+β⋅g\theta\leftarrow \theta+\beta\cdot g

回到顶部#### c. 算法改进1 | 使用 TN

上面的 DPG 是比较原始的版本，用 Target Network 可以提升效果。Target Network 在此前第11篇中讲过，上文中的算法也会出现高估问题或者低估问题。

因为用自身下一时刻的估计来更新此时刻的估计。

Target Network 方法的过程是：

1. 用 价值网络 计算 t 时刻的价值: qt=q(st,qt;w)qt=q(st,qt;w)q_t=q(s_t,q_t;w)
2. TD target (不同之处):
   • 改用两个不同的神经网络计算 TD target 。
   • 用 target policy network 代替 策略网络 来预选 a′t+1at+1′a'_{t+1}，网络结构和策略网络一样，但参数不一样；记为 a′t+1=π(ss+1;θ−)at+1′=π(ss+1;θ−)a'_{t+1}=\pi(s_{s+1};\theta^-)
   • 用 target value network 代替 价值网络 计算 qt+1qt+1q_{t+1}，与价值网络结构相同，参数不同；记为 qt+1=q(st+1,a′t+1;w−)qt+1=q(st+1,at+1′;w−)q_{t+1}=q(s_{t+1},a'_{t+1};w^-)
3. 后续 TD error 以及 参数更新 与 原始算法一致，具体见第11篇

回到顶部#### d. 完整过程

1. 策略网络做出选择:a=π(s;θ)a=π(s;θ)a=\pi(s;\theta)
2. 用 DPG 更新 策略网络：θ←θ+β⋅∂a∂θ⋅∂q(s,a;w)∂aθ←θ+β⋅∂a∂θ⋅∂q(s,a;w)∂a\theta\leftarrow \theta+ \beta\cdot\frac{\partial a}{\partial\theta}\cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial a}
3. 价值网络计算 qtqtq_t：qt=q(s,a;w)qt=q(s,a;w)q_t=q(s,a;w)
4. Target Networks 计算 qt+1qt+1q_{t+1}
5. TD error：δt=qt−(rt+γ⋅qt+1)δt=qt−(rt+γ⋅qt+1)\delta_t=q_t-(r_t+\gamma\cdot q_{t+1})
6. 梯度下降：w←w−α⋅δt⋅∂q(s,a;w)∂ww←w−α⋅δt⋅∂q(s,a;w)∂ww\leftarrow w-\alpha\cdot\delta_t \cdot\frac{\partial q(s,a;w)}{\partial w}

同样，之前讲过的其他改进也可以用于这里，如经验回放、multi-step TD Target 等。

15.3 确定策略 VS 随机策略

DPG 使用的是 确定策略网络，跟之前的随机策略不同。

15.4 | 随机策略

这部分来介绍怎么在连续控制问题中应用随机策略梯度。

构造一个策略网络，来做连续控制，这个策略网络与之前学过的相差很大，以机械臂为例：

回到顶部#### a. 自由度为 1 的连续动作空间

先从一个简单的情况研究起，自由度为1，这时动作都是实数 A⊂RA⊂R\mathcal{A}\subset \mathbb{R}

• 记均值为 μμ\mu，标准差是 σσ\sigma ，都是状态 s 的函数，输出是一个实数
• 假定我们的策略函数是正态分布函数N(μ,σ2)N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)：π(a|s)=16.28√σ⋅exp(−(a−μ)22σ2)π(a|s)=16.28σ⋅exp(−(a−μ)22σ2)π(a|s)=\frac{1}{\sqrt{6.28}\sigma}\cdot exp(-\frac{(a-\mu)^2}{2\sigma^2})
• 根据策略函数随机抽样一个动作

回到顶部#### b. 自由度 >1 的连续动作空间

而机械臂的自由度通常是3或者更高，把自由度记为 d，动作 a 是一个 d 维的向量。

• 用粗体 μμ\boldsymbol{\mu} 表示均值，粗体 σσ\boldsymbol{\sigma} 表示标准差，都是状态 s 的函数，输出是都是 d 维向量
• 用 μiμi\mu_i 和 σiσi\sigma_i 表示 μ(s)μ(s)\boldsymbol{\mu}(s) 和 σ(s)σ(s)\boldsymbol{\sigma}(s) 输出的第 i 个元素，假设各个维度独立，则可以表示成 a 中的函数连乘
• π(a|s)=Πdi=116.28√σi⋅exp(−(ai−μi)22σ2i)π(a|s)=Πi=1d16.28σi⋅exp(−(ai−μi)22σi2)π(a|s)=\Pi_{i=1}^d \frac{1}{\sqrt{6.28}\sigma_i}\cdot exp(-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\sigma_i^2})

但是问题是，我们不知道 具体的 μ,σμ,σ\mu , \sigma，我们用神经网络来近似它们。

回到顶部#### c. 函数近似

• 用神经网络 μ(s;θμ)μ(s;θμ)\mu(s;\theta^\mu) 近似 μμ\mu
• 用神经网络 σ(s;θσ)σ(s;θσ)\sigma(s;\theta^\sigma)近似 σ(s)σ(s)\sigma(s)，实际上这样效果并不好，近似方差的对数更好:ρi=lnσ2i,for i=1,...,d.ρi=lnσi2,for i=1,...,d.\boldsymbol{\rho_i=ln\sigma_i^2},for \ i=1,...,d.
• 即用神经网络 ρ(s;θρ)ρ(s;θρ)\boldsymbol\rho(s;\boldsymbol{\theta^\rho}) 近似 ρρ\boldsymbol\rho；

网络结构如下：

回到顶部#### d. 连续控制

1. 观测到 状态 s，输入神经网络；
2. 神经网络输出 μ^=μ(s;θμ),ρ^=ρ(s;θρ)μ^=μ(s;θμ),ρ^=ρ(s;θρ)\hat\mu=\mu(s;\theta^\mu),\hat\rho=\rho(s;\theta^\rho)，都是 d 维度
3. ρ^ρ^\hat\rho 计算 σ^2i=exp(ρ^i)σ^i2=exp⁡(ρ^i)\hat\sigma_i^2=\exp(\hat\rho_i)
4. 随机抽样得到动作 a ：ai∼N(μ^i,σ^2i)ai∼N(μ^i,σ^i2)a_i\sim\mathcal{N}(\hat\mu_i,\hat\sigma_i^2)

这个正态分布是假定的策略函数。

回到顶部#### e. 训练策略网络

1. 辅助神经网络

Auxiliary Network, 计算策略梯度时对其求导。

• 随机策略梯度为：g(a)=∂lnπ(a|s;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=∂lnπ(a|s;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=\frac{\partial ln\pi(a|s;\theta)}{\partial\theta}\cdot Q_\pi(s,a)
• 计算 ππ\pi 的对数。
• 策略网络为：π(A|s;θμ)=Πdi=116.28√⋅exp(−(ai−−μ)22δ2i)π(A|s;θμ)=Πi=1d16.28⋅exp⁡(−(ai−−μ)22δi2)\pi(A|s;\theta^\mu)=\Pi_{i=1}^d\frac{1}{\sqrt{6.28}}\cdot\exp(-\frac{(a_i--\mu)^2}{2\delta^2_i}),输出是一个概率密度，表示在某点附近的可能性大小

虽然可以算出来某个动作的概率，但实际上我们只需要知道 均值 和 方差，来做随机抽样即可，所以实际上我们用不到这个策略函数 ππ\pi

• 由上面策略梯度公式知：我们需要策略 ππ\pi 的对数，所以训练时，我们会用到策略 ππ\pi 的对数，而不是 ππ\pi 本身：

lnπ(a|s;θμ,θρ)=∑i=1d[−lnδi−(ai−μi)22δ2]+constln⁡π(a|s;θμ,θρ)=∑i=1d[−ln⁡δi−(ai−μi)22δ2]+const\ln\pi(a|s;\theta^\mu,\theta^\rho)=\sum_{i=1}^d[-\ln\delta_i-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\delta^2}]+const

• 由于神经网络输出的时方差对数ρiρi\rho_i，而不是δ2iδi2\delta^2_i，所以做个替换：δ2i=expρiδi2=exp⁡ρi\delta_i^2=\exp\rho_i
• lnπ(a|s;θμ,θρ)=∑di=1[−lnδi−(ai−μi)22δ2]+const=∑di=1[−ρi2−(ai−μi)22exp(ρi)]+constln⁡π(a|s;θμ,θρ)=∑i=1d[−ln⁡δi−(ai−μi)22δ2]+const=∑i=1d[−ρi2−(ai−μi)22exp⁡(ρi)]+const\ln\pi(a|s;\theta^\mu,\theta^\rho)=\sum_{i=1}^d[-\ln\delta_i-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\delta^2}]+const\=\sum_{i=1}^d[-\frac{\rho_i}{2}-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\exp(\rho_i)}]+const
• 这样 神经网络的对数 就表示成了 ρ,μρ,μ\rho,\mu 的形式，记 θ=(θμ,θρ)θ=(θμ,θρ)\theta=(\theta^\mu,\theta^\rho)

• 把上式连加的一项记为 f(s,a;θ)f(s,a;θ)f(s,a;\theta)，这就是辅助神经网络 Auxiliary Network.用于帮助训练。

  • f(a,s;θ)=∑di=1[−ρi2−(ai−μi)22exp(ρi)]f(a,s;θ)=∑i=1d[−ρi2−(ai−μi)22exp⁡(ρi)]f(a,s;\theta)=\sum_{i=1}^d[-\frac{\rho_i}{2}-\frac{(a_i-\mu_i)^2}{2\exp(\rho_i)}]
  • f 的输入是 s, a ，依赖于 ρ,μρ,μ\rho,\mu，所以参数也是 θθ\theta
  • 结构如下：

  

  1. 输入为 μ,ρs,aμ,ρ⏟s,a\underbrace{\mu,\rho}\_{s},a，输出为一个实数 f；
  2. f 依赖于卷积层和全连接层的参数，所以接下来反向传播，可以算出 f 关于全连接层 Dense 参数的梯度，再算出 关于卷积层参数的梯度：
  
  ![image](https://img-blog.csdnimg.cn/img_convert/8f1f7cb9d688c8d1415c5f44a9450118.png)
  
  用 ∂f∂θ∂f∂θ\frac{\partial f}{\partial \theta} 来表示梯度。

2.策略梯度算法训练策略网络

• 随机策略梯度：g(a)=∂lnπ(a|s;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=∂lnπ(a|s;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=\frac{\partial ln\pi(a|s;\theta)}{\partial\theta}\cdot Q_\pi(s,a)
• 辅助神经网路：f(s,a;θ)=lnπ(a|s;θ)+constf(s,a;θ)=ln⁡π(a|s;θ)+constf(s,a;\theta)=\ln\pi(a|s;\theta)+const
• 可以注意到，f 的梯度和 lnπln⁡π\ln\pi 的梯度相同，可以用前者梯度代替后者，即

g(a)=∂f(s,a;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=∂f(s,a;θ)∂θ⋅Qπ(s,a)g(a)=\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial \theta}\cdot Q_\pi(s,a)
而 f 作为一个神经网路，成熟的 pytorch 等可以对其自动求导。

• Q 还未知，需对其做近似

  • 具体参见 第14篇
  • Reinforce
    • 用观测到的回报 ututu_t 来近似 QπQπQ_\pi
    • 更新策略网络：θ←θ+β⋅∂f(s,a;θ)∂θ⋅utθ←θ+β⋅∂f(s,a;θ)∂θ⋅ut\theta\leftarrow\theta+\beta\cdot\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial\theta}\cdot u_t
  • Actor-Critic（A2C）
    • 用价值网络 q(s,a;w)q(s,a;w)q(s,a;w) 近似 QπQπQ_\pi
    • 更新策略网络：θ←θ+β⋅∂f(s,a;θ)∂θ⋅q(s,a;w)θ←θ+β⋅∂f(s,a;θ)∂θ⋅q(s,a;w)\theta\leftarrow\theta+\beta\cdot\frac{\partial f(s,a;\theta)}{\partial\theta}\cdot q(s,a;w)
    • 而新引入的价值网络 q(S,a;w)q(S,a;w)q(S,a;w)，用 TD 算法来进行学习。

15.5 总结

1. 连续动作空间有无穷多种动作数量

2. 解决方案包括：

   • 离散动作空间，使用标准DQN或者策略网络进行学习，但是容易引起维度灾难
   • 使用确定策略网络进行学习

   没有随机性，某些情境下不合适。

   • 随机策略网络（μμ\mu 与 σ2σ2\sigma^2）

3. 随机策略的训练过程：

   • 构造辅助神经网络 f(s,a;θ)f(s,a;θ)f(s,a;\theta) 计算策略梯度；
   • 策略梯度近似算法包括：reinforce、Actor-Critic 算法
     • 可以改进 reinforce 算法，使用带有 baseline 的 reinforce 算法
     • 可以改进 Actor-Critic 算法，使用 A2C 算法

本系列完结撒花！

x. 参考教程

• 视频课程：深度强化学习（全）_哔哩哔哩_bilibili
• 视频原地址：https://www.youtube.com/user/wsszju
• 课件地址：https://github.com/wangshusen/DeepLearning
• 参考博客：https://blog.csdn.net/Cyrus_May/article/details/124137445

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